Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=|x+ |﹣|x﹣ |；
（1）作出函數(shù)f（x）的圖象；
（2）根據(jù)（1）所得圖象，填寫(xiě)下面的表格：

性質(zhì)	定義域	值域	單調(diào)性	奇偶性	零點(diǎn)
f（x）

（3）關(guān)于x的方程f2（x）+m|f（x）|+n=0（m，n∈R）恰有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求n的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）=|x+ |﹣|x﹣ |= ，

作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：

（2）解：由函數(shù)的圖象得函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，

函數(shù)的值域?yàn)椋?，2]，

在（﹣∞，﹣1]和（0，1）上單調(diào)遞增，

在[1，+∞）和（﹣1，0），單調(diào)遞減，

函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，是偶函數(shù)，

函數(shù)與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，無(wú)零點(diǎn)

（3）解：∵0＜f（x）≤2，且函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，

∴令t=f（x），則方程等價(jià)為t2+mt+n=0，

則由圖象可知，當(dāng)0＜t＜2時(shí)，方程t=f（x）有4個(gè)不同的根，

當(dāng)t=2時(shí)，方程t=f（x）有2個(gè)不同的根，

當(dāng)t≤0或t＞2時(shí)，方程t=f（x）有0個(gè)不同的根，

若方程f2（x）+m|f（x）|+n=0（m，n∈R）恰有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，等價(jià)為方程f2（x）+mf（x）+n=0（m，n∈R）恰有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，

即t2+mt+n=0有兩個(gè)不同的根，

其中t1=2，0＜t2＜2，

則n=t1t2∈（0，4）．

【解析】（1）利用分段函數(shù)求出f（x）的表達(dá)式，然后作出函數(shù)f（x）的圖象，（2）結(jié)合函數(shù)的圖象判斷相應(yīng)的性質(zhì)，（3）根據(jù)圖象利用換元法將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．