Question

如圖所示，有一塊邊長為6m的正方形鐵板，現從鐵板的四個角各截去一個邊長為x的小正方形，做成一個長方形的無蓋容器．

（Ⅰ）求這個容器的容積V（x）；
（Ⅱ）為使其容積V（x）最大，求截下的小正方形的邊長x的值及容積V（x）的最大值．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,基本不等式

專題：應用題,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）無蓋容器的底邊長為6-2x，無蓋容器的高為x，可得出容積V（x）與自變量x之間的關系式，由6-2x＞0，可求出v（x）的定義域；
（Ⅱ）利用導數法，求出其函數值取最大值時，自變量x的值，即可得到要使無蓋容器的容積最大，無蓋容器的底邊長．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，無蓋容器的底邊長為6-2x，無蓋容器的高為x，
∴無蓋容器的容積是V（x）與x的函數關系式是：V（x）=（6-2x）²•x，且f（x）的定義域為（0，3）
（Ⅱ）V′（x）=（6-2x）²•x=（6-2x）（6-6x），
令V′（x）=0，則x=1，或x=3（舍）
∵函數在（0，1）上單調遞增，在（1，3）上單調遞減
∴當無蓋容器底面為1m時，無蓋容器的容積最大為16m³．

點評：本題考查函數模型的選擇與應用，解題的關鍵是設出自變量并根據已知條件確定出函數的解析式和定義域，將一個實際問題轉化為函數問題．