Question

已知函數(shù)f（x）=x+

a

x

，其中a為實(shí)常數(shù)，試討論f（x）的單調(diào)性，并用函數(shù)的單調(diào)性證明之．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專(zhuān)題：

分析：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可得到結(jié)論．

解答： 解：當(dāng)a=0時(shí)，f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)增；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在(-∞，-

a

]及[

a

，+∞)都單調(diào)增，在(-

a

，0)及(0，

a

]上都單調(diào)減；
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在（-∞，0）及（0，+∞）都單調(diào)增．
∵函數(shù)是奇函數(shù)，∴只需證明當(dāng)x＞0時(shí)的單調(diào)性即可，
任意設(shè)0＜x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=x₁-x₂+

a

x1

-

a

x2

=（x₁-x₂）+

a(x2-x1)

x1x2

=（x₁-x₂）

x1x2-a

x1x2

，
若

a

≤x₁＜x₂，則x₁x₂＞

a

•

a

=a，即
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂-a＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增．
若0＜x₁＜x₂≤

a

，則x₁x₂＜

a

a

=a，即
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂-a＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＜f（x₂），此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明，利用函數(shù)單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．