Question

所有棱長均為1的四棱柱ABCD-A₁B₁C₁C₁如圖所示，∠DAB=60°，CC₁⊥A₁C₁．
（1）證明：平面DBB₁D₁⊥平面AA₁C₁C；
（2）當∠DD₁B₁為多大時，四棱錐C-BB₁D₁D的體積最大，并求出該最大值．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（1）證明A₁C₁⊥平面DBB₁D₁，即可證明平面DBB₁D₁⊥平面AA₁C₁C；
（2）四邊形DBB₁D₁為邊長為1的菱形，SDD1B1B=D1B1•DD1sin∠DD1B=sin∠DD1B，則當∠DD₁B=90°時（DD₁⊥D₁B₁），SDD1B1B最大．

解答： （1）證明：由題知，棱柱的上下底面為菱形，
則A₁C₁⊥B₁D₁①，…（2分）
由棱柱性質可知CC₁∥BB₁，
又CC₁⊥A₁C₁，故A₁C₁⊥BB₁②…（4分）
由①②得A₁C₁⊥平面DBB₁D₁，
又A₁C₁?平面AA₁C₁C，故平面DBB₁D₁⊥平面AA₁C₁C…（6分）
（2）解：設AC∩BD=O，
由（1）可知AC⊥平面DBB₁D₁，
故VC-DD1B1B=

1

3

SDD1B1BCO…（8分）
菱形ABCD中，因為BC=1，∠DAB=60°，則∠CBO=60°，且BD=1
則在△CBO中，CO=BCsin60°=

3

2

…（10分）
易知四邊形DBB₁D₁為邊長為1的菱形，SDD1B1B=D1B1•DD1sin∠DD1B=sin∠DD1B
則當∠DD₁B=90°時（DD₁⊥D₁B₁），SDD1B1B最大，且其值為1．…（12分）
故所求體積最大值為V=

1

3

•1•

3

2

=

3

6

…（13分）

點評：本題考查線面垂直、面面垂直，考查體積的計算，正確運用線面垂直的判定定理是關鍵．