Question

設(shè)f（x）=

sinbx x +xsin 2 x ，x＜0 3，                       x=0 ax-1 sinx ，               x＞0

在x=0處連續(xù)，求a，b的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的連續(xù)性

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意根據(jù)函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)的定義可得當(dāng)x＞0時(shí)，

lim

x→0

ax-1

sinx

=3，當(dāng)x＜0時(shí)，

lim

x→0

（

sinbx

x

+xsin

2

x

）=3．再利用羅比達(dá)法則化簡(jiǎn)，求得a、b的值．

解答： 解：若f（x）=

sinbx x +xsin 2 x ，x＜0 3，                       x=0 ax-1 sinx ，               x＞0

 在x=0處連續(xù)，
則當(dāng)x＞0時(shí)，

lim

x→0

ax-1

sinx

=

lim

x→0

ax•lna

cosx

=lna=3，故有a=e³．
當(dāng)x＜0時(shí)，

lim

x→0

（

sinbx

x

+xsin

2

x

）=

lim

x→0

[b•

sinbx

bx

+2•

sin 2 x

2 x

]=b+0=b=3．
綜上可得，a=e³，b=3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)的定義和性質(zhì)，用羅比達(dá)法則求函數(shù)的極限，函數(shù)極限的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題．