Question

已知點A（1，0），B（0，1）和互不相同的點P₁，P₂，P₃，…，P_n，…，滿足

OPn

=an

OA

+bn

OB

（n∈N^*），其中a_n，b_n分別為等差數列和等比數列，O為坐標原點，P₁是線段AB的中點．
（1）求a₁，b₁的值；
（2）判斷點P₁，P₂，P₃，…，P_n，…能否在同一條直線上，并證明你的結論；
（3）設數列a_n的公差為2，在數列c_n中，c₁=1，c₂=-13，c_n+2-2c_n+1+c_n=a_n（n∈N^*），求出c_n取得最小值時n的值．

Answer 1

分析：（1）由

OPn

=an

OA

+bn

OB

，得P_n（a_n，b_n），又P₁是AB中點，則P1(

1

2

，

1

2

)，即a1=b1=

1

2

．
（2）設數列a_n的公差為d，b_n的公比為q，因為P₁，P₂，P₃，，P_n，是互不相同的點，可得d=0，q=1不會同時成立．當d=0時，點P₁，P₂，P₃，，P_n，均在直線x=

1

2

上．當q=1時，點P₁，P₂，P₃，，P_n，均在直線y=

1

2

上．關鍵是當d≠0，q≠1時，點P₁，P₂，P₃，，P_n，不會在同一條直線上，只要驗證P₁，P₂，P₃，不共線即可，
（3）由an=

1

2

+(n-1)×2=2n-

3

2

，可得(cn+2-cn+1)-(cn+1-cn)=2n-

3

2

(n∈N*)，依此累加求解．

解答：解：（1）由

OPn

=an

OA

+bn

OB

，得

OPn

=(an，bn)，即P_n（a_n，b_n），
所以P₁（a₁，b₁），P₁是AB中點，
則P1(

1

2

，

1

2

)，即a1=b1=

1

2

．

（2）設數列a_n的公差為d，b_n的公比為q，因為P₁，P₂，P₃，，P_n，是互不相同的點，
所以，d=0，q=1不會同時成立．
當d=0時，an=a1=

1

2

（n∈N^*），
此時，點P₁，P₂，P₃，，P_n，均在直線x=

1

2

上．
當q=1時，bn=b1=

1

2

，此時，點P₁，P₂，P₃，，P_n，均在直線y=

1

2

上．
當d≠0，q≠1時，點P₁，P₂，P₃，，P_n，不會在同一條直線上，
因為P1(

1

2

，

1

2

)，P2(

1

2

+d，

1

2

q)，P3(

1

2

+2d，

1

2

q2)，
所以，kP1P2=

q-1

2d

，kP2P3=

q(q-1)

2d

，
因為q≠1，
所以，kP1P2≠kP2P3，
點P₁，P₂，P₃不會同一條直線上，即點P₁，P₂，P₃，，P_n，不會在同一條直線上．

（3）由已知an=

1

2

+(n-1)×2=2n-

3

2

，(cn+2-cn+1)-(cn+1-cn)=2n-

3

2

(n∈N*)，
所以，(c3-c2)-(c2-c1)=2×1-

3

2

(c4-c3)-(c3-c2)=2×2-

3

2

(cn-cn-1)-(cn-1-cn-2)=2(n-2)-

3

2

(n＞2)
疊加，得cn-cn-1=(c2-c1)+2[1+2++(n-2)]-

3

2

(n-2)=n2-

9

2

n-9(n＞2)，
解c_n-c_n-1≥0，即n2-

9

2

n-9≥0(n＞2)，
得n≥6，
所以，c₂＞c₃＞c₄＞c₅=c₆，c₅=c₆＜c₇＜，結合c₁=1，c₂=-13，c₁＞c₂＞c₃＞c₄＞c₅=c₆，c₅=c₆＜c₇＜，
所以，c_n最小值時n的值為5或6．

點評：本題主要考查知識間的滲透問題，由向量形式和坐標形式的轉化，曲線與方程的轉化，點的橫縱坐標是一個數列用數列知識研究其關系．