Question

已知點A（-1，0），B（1，0），M是平面上的一動點，過M作直線l：x=4的垂線，垂足為N，且|MN|=2|MB|．
（1）求M點的軌跡C的方程；
（2）當M點在C上移動時，|MN|能否成為|MA|與|MB|的等比中項？若能求出M點的坐標，若不能說明理．

Answer 1

分析：（1）設出點的坐標，利用|MN|=2|MB|，建立方程，化簡即可得出結論；
（2）假設存在M（m，n）（-2≤m≤2），|MN|能成為|MA|與|MB|的等比中項，則|MN|²=|MA||MB|，利用A（-1，0），B（1，0）是

x2

4

+

y2

3

=1的焦點，即可得出結論．

解答：解：（1）設M（x，y），則N（4，y）
∵|MN|=2|MB|
∴|x-4|=2

(x-1)2+y2

∴

x2

4

+

y2

3

=1
（2）假設存在M（m，n）（-2≤m≤2），|MN|能成為|MA|與|MB|的等比中項，則|MN|=4-m，|MB|=2-

m

2

∵A（-1，0），B（1，0）是

x2

4

+

y2

3

=1的焦點
∴|MA|=2×2-2（2-

m

2

）=2+

m

2

∵|MN|²=|MA||MB|
∴（4-m）²=（2+

m

2

）（2-

m

2

）
∴5m²-32m+48=0
∴m=

12

5

或m=4
∵-2≤m≤2，
∴不存在M，|MN|能成為|MA|與|MB|的等比中項．

點評：本題考查軌跡方程，考查等比中項，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．