Question

已知點A（1，0），B（0，1）和互不相同的點P₁，P₂，P₃，…，P_n，…，滿足

OPn

=an

OA

+bn

OB

(n∈N*)，O為坐標原點，其中a_n、b_n分別為等差數列和等比數列，若P₁是線段AB的中點，設等差數列公差為d，等比數列公比為q，當d與q滿足條件

 

時，點P₁，P₂，P₃，…，P_n，…共線．

Answer 1

分析：設數列a_n的公差為d，b_n的公比為q，因為P₁，P₂，P₃，，P_n，是互不相同的點，可得d=0，q=1不會同時成立．當d=0時，點P₁，P₂，P₃，，P_n，均在直線 x=

1

2

上．當q=1時，點P₁，P₂，P₃，，P_n，均在直線 y=

1

2

上．關鍵是當d≠0，q≠1時，點P₁，P₂，P₃，，P_n，不會在同一條直線上，只要驗證P₁，P₂，P₃，不共線即可，

解答：解：設數列a_n的公差為d，b_n的公比為q，因為P₁，P₂，P₃，，P_n，是互不相同的點，
所以，d=0，q=1不會同時成立．
當d=0時，an=a1=

1

2

（n∈N^*），
此時，點P₁，P₂，P₃，，P_n，均在直線 x=

1

2

上．
當q=1時，bn=b1=

1

2

，此時，點P₁，P₂，P₃，，P_n，均在直線 y=

1

2

上．
當d≠0，q≠1時，點P₁，P₂，P₃，，P_n，不會在同一條直線上，
因為 P1(

1

2

，

1

2

)，P2(

1

2

+d，

1

2

q)，P3(

1

2

+2d，

1

2

q2)，
所以，kP1P2=

q-1

2d

，kP2P3=

q(q-1)

2d

，
因為q≠1，
所以，kP1P2≠kP2P3，
點P₁，P₂，P₃不會同一條直線上，即點P₁，P₂，P₃，，P_n，不會在同一條直線上．
故答案為：

d=0 q≠1

或

d≠0 q=1

另一種描述：d=0或q=1且d=0與q=1不同時成立．

點評：本題主要考查知識間的滲透問題，由向量形式和坐標形式的轉化，曲線與方程的轉化，點的橫縱坐標是一個數列用數列知識研究其關系．