Question

已知點A（-1，0），B（0，2），點P是圓（x-1）²+y²=1上任意一點，則△PAB面積的最大值是

 

．

Answer 1

分析：當過P點的直線與AB平行且與圓相切時，切點P為△PAB面積的最大值時動點的位置，由A與B的坐標求出直線AB的斜率為2，進而得到切線的斜率也為2，設出切線方程y=2x+b，利用直線與圓相切時圓心到直線的距離d等于半徑r，列出關于b的方程，求出的解得到b的值，確定出切線的方程，然后由A與B兩點寫出直線AB的方程，根據平行線間的距離公式求出AB與切線間的距離即為三角形ABP中AB邊上的高，利用勾股定理求出|AB|的長，利用三角形的面積公式即可求出此時△PAB面積，此時的面積即為最大值．

解答：解：根據題意畫出圖形，如圖所示：
由直線AB的斜率k_AB=

2-0

0-(-1)

=2，得到過P與AB平行且與圓相切的直線斜率k=2，
設該直線的方程為：y=2x+b，又圓心坐標為（1，0），半徑r=1，
所以圓心到直線的距離d=

|b+2|

5

=r=1，即b=

5

-2（舍去）或b=-

5

-2，
故該直線方程為：y=2x-

5

-2，又直線AB的方程為：y=2（x+1），即y=2x+2，
所以兩平行線的距離為

5 +4

5

，|AB|=

12+22

=

5

，
則△PAB面積的最大值是

1

2

×

5

×

5 +4

5

=

4+ 5

2

．
故答案為：

4+ 5

2

點評：此題考查學生掌握直線與圓相切時滿足的條件，掌握平行線間的距離公式，考查了數形結合的數學思想．當過一點于圓相切且與直線AB平行，此時切線與圓的切點為△PAB面積取得最大值時動點P的位置，找出此點是解本題的關鍵．