Question

【題目】如圖，某商業中心O有通往正東方向和北偏東30方向的兩條街道，某公園P位于商業中心北偏東角（），且與商業中心O的距離為公里處，現要經過公園P修一條直路分別與兩條街道交匯于A，B兩處。

（1）當AB沿正北方向時，試求商業中心到A，B兩處的距離和；

（2）若要使商業中心O到A，B兩處的距離和最短，請確定A，B的最佳位置。

Answer 1

【答案】（1）13.5km．（2）商業中心到A、B兩處的距離和最短為9km，此時OA=6km，OB=3km

【解析】試題分析：（1）建立直角坐標系表示圖中各量關系是解題關鍵： ，OB=2OA=9，商業中心到A、B兩處的距離和為13.5km．（2）當AB與軸不垂直時，設AB： ，則,又直線OB的方程為，所以， ，從而，其中，或．利用導數可得當時， 有極小值也是最小值為9km；此時OA=6km，OB=3km，

試題解析：

（1）以O為原點，OA所在直線為軸建立坐標系．設，

∵， ∴， ，

則， ， 4分

依題意，AB⊥OA，則OA=，OB=2OA=9，商業中心到A、B兩處的距離和為13.5km． 7分

（2）

方法1：當AB與軸不垂直時，設AB： ，①

令，得；由題意，直線OB的方程為，②

解①②聯立的方程組，得，∴，

∴，由， ，得，或． 11分

，令，得，

當時， ， 是減函數；當時， ， 是增函數，

∴當時， 有極小值為9km；當時， ， 是減函數，結合（1）知km．

綜上所述，商業中心到A、B兩處的距離和最短為9km，此時OA=6km，OB=3km，

方法2：如圖，過P作PM//OA交OB于M，PN//OB交OA于N，設∠BAO= ，

△OPN中，得PN=1，ON=4=PM，

△PNA中∠NPA=120°- ∴得

同理在△PMB中， ，得，

， 13分

當且僅當即即時取等號．

方法3：若設點，則AB： ，得，

∴， 13分

當且僅當即時取等號．

方法4：設，AB： ，得，

， 13分

當且僅當即時取等號．

答：A選地址離商業中心6km，B離商業中心3km為最佳位置． 15分