Question

【題目】已知函數f（x）=﹣x3+ax2+bx+c圖像上的點P（1，f（1））處的切線方程為y=﹣3x+1．
（1）若函數f（x）在x=﹣2時有極值，求f（x）的表達式；
（2）函數f（x）在區間[﹣2，0]上單調遞增，求實數b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=﹣3x2+2ax+b，

函數f（x）在x=1處的切線斜率為﹣3，

∴f′（1）=﹣3+2a+b=﹣3，即2a+b=0，

又f（1）=﹣1+a+b+c=﹣2得a+b+c=﹣1．

∵函數f（x）在x=﹣2時有極值，

∴f′（﹣2）=﹣12﹣4a+b=0，

聯立 ，

解得a=﹣2，b=4，c=﹣3，

∴f（x）=﹣x3﹣2x2+4x﹣3

（2）解：∵函數f（x）在區間[﹣2，0]上單調遞增，

∴導函數f′（x）=﹣3x2﹣bx+b在區間[﹣2，0]上的值恒大于或等于零，

則 ，

解得b≥4，

∴實數b的取值范圍為[4，+∞）

【解析】（1）f′（x）=﹣3x2+2ax+b，由函數f（x）在x=1處的切線斜率為﹣3，可得f′（1）=﹣3；又f（1）=﹣1+a+b+c=﹣2；由函數f（x）在x=﹣2時有極值，可得f′（﹣2）=0，聯立解得即可．（2）由于函數f（x）在區間[﹣2，0]上單調遞增，可得導函數f′（x）=﹣3x2﹣bx+b在區間[﹣2，0]上的值恒大于或等于零，因此 ，解得即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數的極值與導數的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．