Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，四邊形ABCD是菱形，∠BCD＝120°，PA⊥底面ABCD，PA＝4，AB＝2．

（I）求證：平面PBD⊥平面PAC；

（Ⅱ）過AC的平面交PD于點M若平面AMC把四面體P﹣ACD分成體積相等的兩部分，求二面角A﹣MC﹣P的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）先利用線面垂直的判定定理，證得BD⊥面PAC，再利用面面垂直的判定定理，即可證得平面PBD⊥平面PAC；

（Ⅱ）根據面積關系，得到M為PD的中點，建立空間直角坐標系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.

（Ⅰ）在四棱錐P﹣ABCD中，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，

∵PA⊥底面ABCD，∴DB⊥PA，又AP∩AC＝A，∴BD⊥面PAC．

又BD平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC；

（Ⅱ）∵過AC的平面交PD于點M若平面AMC把四面體P﹣ACD分成體積相等的兩部分，

∴M為PD的中點，則AO＝OD，AC＝2，

建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A（﹣1，0，0），C（1，0，0），P（﹣1，0，4），D（0，，0），M（，，2）．

設面AMC的法向量為，，，2），，

由，取，可得一個法向量

設面PMC的法向量為，，．

，令，可一個法向量，

則，

即二面角A﹣MC﹣P的余弦值為．