Question

【題目】如圖，在四棱錐P—ABCD中，四邊形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M為PC中點．求證：

（1）PA∥平面MDB；

（2）PD⊥BC．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）線面平行的判定關鍵在證相應線線平行，線線平行的證明或尋求需要結合平面幾何的知識，如中位線平行于底面，因為本題中M為PC中點，所以應取BD的中點作為解題突破口；（2）線線垂直的證明一般需要經過多次線線垂直與線面垂直的轉化，而對于面面垂直，基本是單向轉化，即作為條件，就將其轉化為線面垂直；作為結論，只需尋求線面垂直.如本題中面PCD與面ABCD垂直，就轉化為BC平面PCD，到此所求問題轉化為:已知線面垂直，要求證線線垂直.在線線垂直與線面垂直的轉化過程中，要注意充分應用平面幾何中的垂直條件,如矩形鄰邊相互垂直.

試題解析：證明：（1）連結AC交BD于點O,連結OM. 2分

因為M為PC中點,O為AC中點，

所以MO//PA. 4分

因為MO平面MDB，PA平面MDB,

所以PA//平面MDB. 7分

（2）因為平面PCD平面ABCD,

平面PCD平面ABCD =CD,

BC平面ABCD ,BCCD,

所以BC平面PCD. 12分

因為PD平面PCD,

所以BCPD 14分