Question

已知等比數列{a_n}的各項均為正數，且2a₁，

1

2

，3a₂成等差數列，a₂，

1

3

a₃，a₆成等比數列．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）已知b_n=log₃

1

an

，記S_n=b₁+b₂+…+b_n，T_n=1+

1

1+ 1 3

+

1

1+ 1 3 + 1 6

+…+

1

1+ 1 3 + 1 6 +…+ 1 Sn

，求證：T₂₀₁₄＜1013．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）由已知條件得

2a1+3a1q=1 1 9 a 2 1 q4=a1q•a1q5

，且q＞0，由此能求出an=

1

3n

．
（Ⅱ）由b_n=log₃

1

an

=log33n=n，得S_n=

n(n+1)

2

，從而得到

1

1+ 1 3 + 1 6 +…+ 1 Sn

=

1

2

+

1

2n

，進而得到T_n=（

1

2

+

1

4

+

1

6

+…+

1

2n

）+

n

2

，由此能證明T₂₀₁₄＜1013．

解答： （本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）∵等比數列{a_n}的各項均為正數，
且2a₁，

1

2

，3a₂成等差數列，a₂，

1

3

a₃，a₆成等比數列，
∴

2a1+3a1q=1 1 9 a 2 1 q4=a1q•a1q5

，且q＞0，
解得a1=

1

3

，q=

1

3

，
∴an=

1

3n

．
（Ⅱ）b_n=log₃

1

an

=log33n=n，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，
∴

1

1+ 1 3 + 1 6 +…+ 1 Sn

=

1

2(1- 1 2 + 1 2 - 1 3 +…+ 1 n - 1 n+1 )

=

1

2

+

1

2n

，
∴T_n=（

1

2

+

1

4

+

1

6

+…+

1

2n

）+

n

2

=

1

2

(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)+

n

2

∴T₂₀₁₄=

1

2

(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2014

)+1002
≈

1

2

×0.92+2012＜2013．
∴T₂₀₁₄＜1013．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．