Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³-6x+5，x∈R
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若直線y=a與y=f（x）的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件,根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專(zhuān)題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，令f′（x）=0可得極值點(diǎn)，解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可得單調(diào)區(qū)間；根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)變化情況可判斷極值并可求解；
（2）由（1）作出函數(shù)的草圖，由圖象可得a的范圍．

解答： 解：（1）f′(x)=3(x2-2)，令f′(x)=0，得x1=-

2

，x2=

2

∴當(dāng)x＜-

2

或x＞

2

時(shí)，f′(x)＞0；當(dāng)-

2

＜x＜

2

時(shí)，f′(x)＜0，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞，-

2

)和(

2

，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(-

2

，

2

)
當(dāng)x=-

2

，f(x)有極大值5+4

2

；當(dāng)x=

2

，f(x)有極小值5-4

2

．
（2）由（1）可知y=f（x）圖象的大致形狀及走向

∴當(dāng)5-4

2

＜a＜5+4

2

時(shí)，直線y=a與y=f(x)的圖象有3個(gè)不同交點(diǎn)

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性及根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟是：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)fˊ（x）；（3）在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．若在函數(shù)式中含字母系數(shù)，往往要分類(lèi)討論．