Question

【題目】已知菱形ABCD如圖（1）所示，其中∠ACD=60°，AB=2，AC與BD相交于點O，現沿AC進行翻折，使得平面ACD⊥平面ABC，取點E，連接AE，BE，CE，DE，使得線段BE再平面ABC內的投影落在線段OB上，得到的圖形如圖（2）所示，其中∠OBE=60°，BE=2．
（Ⅰ）證明：DE⊥AC；
（Ⅱ）求二面角A﹣BE﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：依題意得△ABC，△ACD都是邊長為2的等邊三角形，∴DO⊥AC． 又平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC=AC，DO面ACD，∴DO⊥面ABC．
作EF⊥面ABC于F，可得F落在BO上，且∠EBF=∠OBE=60°．
在Rt△BEF中，EF=BE ，
在Rt△DOC中，DO=DC ，
∵DO⊥面ABC，EF⊥面ABC，所以DO∥EF，又DO=EF，∴四邊形DEFO是矩形，
∵OF⊥AC，∴DE⊥AC；

（Ⅱ）以O為原點，OA，OB，OD所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，
則A（1，0，0），B（0， ，0），C（﹣1，0，0），E（0， ）．
故 ）， ．
設平面BCE的法向量為 ，
由 ，可取
設平面ABE的法向量為 ，
由 ，可取
cos = =﹣ ，
∴二面角A﹣BE﹣C的余弦值為

【解析】（Ⅰ）依題意得DO⊥AC，又平面ACD⊥平面ABC，得DO⊥面ABC．作EF⊥面ABC于F，可得F落在BO上，可得四邊形DEFO是矩形，即證得 DE⊥AC（Ⅱ）以O為原點，OA，OB，OD所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，則A（1，0，0），B（0， ，0），C（﹣1，0，0），E（0， ）．利用向量求解．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面垂直的性質的相關知識點，需要掌握垂直于同一個平面的兩條直線平行才能正確解答此題．