Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是平行四邊形，側(cè)面PAD是邊長(zhǎng)為2的正三角形，AB=BD= ，PB=
（Ⅰ）求證：平面PAD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）設(shè)Q是棱PC上的點(diǎn)，當(dāng)PA∥平面BDQ時(shí)，求二面角A﹣BD﹣Q的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：取AD中點(diǎn)O，連結(jié)OP，OB， ∵PAD是邊長(zhǎng)為2的正三角形，∴ ，
∵ ，
∴OB2+OP2=PB2 ， 則OP⊥OB，
∵OB∩AD=O，∴OP⊥平面ABCD，
又OP平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）解：連接AC交BD于E，連接QE，
∵PA∥平面BDQ，∴PA∥QE，
又E為AC的中點(diǎn)，∴Q為PC的中點(diǎn)．
以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)A、OB、OP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（1，0，0），B（0，2，0），D（﹣1，0，0），Q（﹣1，1， ）．
．
設(shè)平面BDQ的一個(gè)法向量為 ．
由 ，得 ，取z=2 ，得 ．
由圖可知，平面ABD的一個(gè)法向量 ．
∴cos＜ ＞= = ．
∴二面角A﹣BD﹣Q的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）取AD中點(diǎn)O，連結(jié)OP，OB，求解三角形可得OP⊥AD，OP⊥OB，再由線面垂直的判定可得OP⊥平面ABCD，進(jìn)一步得到平面PAD⊥平面ABCD；（Ⅱ）連接AC交BD于E，連接QE，由線面平行的性質(zhì)可得PA∥QE，則Q為PC的中點(diǎn)．以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)A、OB、OP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出所用點(diǎn)的坐標(biāo)，得到平面BDQ與平面ABD的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值得二面角A﹣BD﹣Q的余弦值．