Question

【題目】設函數．

（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）若對恒成立，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）求整數的值，使函數在區間上有零點．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）求得，得到，即可利用點斜式方程求解切線的方程；（2）由，對恒成立，轉化為，設，求得，即可利用導數求得函數的單調性與最值，即可求解的取值范圍；（3）令得，可判定得的零點在上，利用導數得到在上遞增，即可利用零點的判定定理，得到結論．

試題解析：（1），

∴，∴所求切線方程為，即

（2）∵，對恒成立，∴，

設，令，得，令得，

∴在上遞減，在上遞增，

∴，∴

（3）令得，當時，，

∴的零點在上，

令得或，∴在上遞增，又在上遞減，

∴方程僅有一解，且，

∵，

∴由零點存在的條件可得，∴