Question

【題目】如圖1，在直角梯形中，，，且．現以為一邊向形外作正方形，然后沿邊將正方形翻折，使平面與平面垂直，為的中點，如圖2．

（1）求證：平面；

（2）求證：平面；

（3）求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）取EC中點N，連接MN，BN，證明BN∥AM．說明BN平面BEC，且AM平面BEC，即可證明AM∥平面BEC；
（2）先證明ED⊥BC，BC⊥BD，ED∩BD=D，即可證明BC⊥平面BDE；
（3）利用VE-BCD=VD-BCE，求出底面DCB的面積，高為DE，即可求三棱錐D-BCE的體積．

證明：取中點，連結．

在△中，分別為的中點，

所以∥，且．

由已知∥，， 所以∥，且．

又因為平面，且平面， 所以∥平面．

（2）證明：在正方形中，．

又因為平面 平面，且平面平面，

所以平面，又平面，所以．

在直角梯形中，，，可得．

在△中，， 所以．

所以， 所以平面．

（3）由（2）知，，

所以

又因為平面，所以=