Question

【題目】如圖,四棱錐中，，，，，．

（1）求證：平面平面；

（2）在線段上是否存在點，使得平面與平面所成銳二面角為？若存在，求的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）見解析

【解析】

（1）利用余弦定理計算BC，根據勾股定理可得BC⊥BD，結合BC⊥PD得出BC⊥平面PBD，于是平面PBD⊥平面PBC；（2）建立空間坐標系，設λ，計算平面ABM和平面PBD的法向量，令法向量的夾角的余弦值的絕對值等于，解方程得出λ的值,即可得解．

（1）證明：因為四邊形為直角梯形，

且, ,,

所以，

又因為。根據余弦定理得

所以，故.

又因為, ,且,平面，所以平面，

又因為平面PBC，所以

（2）由（1）得平面平面,

設為的中點，連結 ，因為,

所以,,又平面平面，

平面平面，

平面.

如圖，以為原點分別以，和垂直平面的方向為軸正方向，建立空間直角坐標系，

則，，，，，

假設存在滿足要求，設，即，

所以,

易得平面的一個法向量為.

設為平面的一個法向量，，

由得，不妨取.

因為平面與平面所成的銳二面角為，所以，

解得，（不合題意舍去）.

故存在點滿足條件，且.