Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，且橢圓上一點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，且以線(xiàn)段為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，結(jié)合橢圓的離心率列方程，解方程求得的值，由此求得橢圓方程.（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立直線(xiàn)的方程和橢圓的方程，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，寫(xiě)出韋達(dá)定理，根據(jù)列方程，解方程求得的值.由此判斷出直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，由求得三角形面積的表達(dá)式，利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性，求得三角形面積的最大值.

（1）由已知，又，則.

橢圓方程為，將代入方程得，，

故橢圓的方程為；

（2）不妨設(shè)直線(xiàn)的方程，

聯(lián)立消去得.

設(shè)，，則有，①

又以線(xiàn)段為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)，∴，

由，得，

將，代入上式得

，

將①代入上式求得或（舍），

則直線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn).

∴，

設(shè)，則在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，取得最大值.