Question

【題目】已知函數f（x）= （a＞0）
（1）若a=1，證明：y=f（x）在R上單調遞減；
（2）當a＞1時，討論f（x）零點的個數．

Answer 1

【答案】
（1）當a=1時，且x≥1時，f（x）=lnx﹣x+1，

∴0恒成立，

∴f（x）在[1，+∞）單調遞減，

當x＜1時，f（x）=ex﹣1﹣x，

∴f′（x）=ex﹣1﹣1＜0恒成立，

∴f（x）在（﹣∞，1）單調遞減，

綜上所述y=f（x）在R上單調遞減

（2）解：當x≥a時，f（x）=lnx﹣ax+1=0，分別畫出y=lnx，與y=ax﹣1的圖象，如圖所示：

∵y=ax﹣1過定點（0，﹣1），

設直線y=ax﹣1與y=lnx的切點為（m，n），

∴k=f′（m）= = ，f（m）=lnm=n

∴n=0，m=1，

由圖象可知，x≥a時，且當a＞1時，圖象無交點，故f（x）無零點，

當x＜a時，f（x）=ex﹣1+（a﹣2）x，

分別畫出y=ex﹣1，與y=（2﹣a）x的圖象，如圖所示：

∵y=（2﹣a）x過定點（0，0），

由圖象可知，當a＞2時，圖象有一個交點，故f（x）有一個零點，

當1＜a≤2時，圖象無交點，故f（x）無零點，

故x＜a時，函數f（x）有一個零點，

綜上所述，當a＞2時，故f（x）有一個零點，當1＜a≤2時，故f（x）無零點．

【解析】（1）分類討論，根據導數和函數的單調性的關系即可證明；（2）利用數形結合法，分段討論，即可求出函數的零點的個數．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數單調性的判斷方法的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較．