Question

【題目】如圖，在四棱錐 A﹣BCDE中，側面△ADE為等邊三角形，底面 BCDE是等腰梯形，且CD∥B E，DE=2，CD=4，∠CD E=60°，M為D E的中點，F為AC的中點，且AC=4．
（1）求證：平面 ADE⊥平面BCD；
（2）求證：FB∥平面ADE；
（3）求四棱錐A﹣BCDE的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△AD E是等邊三角形，M是D E的中點，

∴AM⊥DE， ，

∵在△DMC中，DM=1，∠CDM=60°，CD=4，

∴MC2=42+12﹣2×4×1×cos60°=13，

∴ ，

∵在△AMC中，A M2+MC2=3+13=16=AC2，

∴AM⊥MC，

∵MC∩DE=M，MC平面BCD，DE平面BCD，

∴AM⊥平面BCD，

∵AM平面ADE，

∴平面ADE⊥平面BCD

（2）證明：分別取AD，DC的中點G，N，連接FG，GE，FN，NB．

∵AC=DC，F，NF分別為AC，DC的中點，

∴ ，∴ ，

∴FN DN，

∴四邊形DNFG是平行四邊形，

∴ ，

∵點N是DC的中點，

∴BC=NC，又∠BCN=60°，

∴△BCN是等邊三角形，

∴∠CNB=∠CDE=60°，

∴ ，

∴四邊形EBND是平行四邊形，

∴ ，

∴ ，

又平面ADE，GE平面ADE，

∴FB∥平面ADE

（3）解：過點B作BH⊥NC于點H，則BH= = = ．

由（2）可知：四邊形EBND是平行四邊形，

∴EB=ND=2，

∴底面等腰梯形BCDE的面積S四邊形EBCD= =3 ，

∴四棱錐A﹣BCDE的體積V= = =3．

【解析】（1）利用等邊三角形的性質可得AM⊥DE，在△DMC中，利用余弦定理可得MC2=13，利用勾股定理的逆定理可得：AM⊥MC，再利用線面垂直與面面垂直的判定定理即可證明．（2）分別取AD，DC的中點G，N，連接FG，GE，FN，NB．利用三角形中位線定理與平行四邊形的性質可得： ，可得△BCN是等邊三角形，可得四邊形EBND是平行四邊形， ， ，可得FB∥平面ADE；（3）過點B作BH⊥NC于點H，可得BH．又EB=ND=2，利用四棱錐A﹣BCDE的體積V= ，即可得出．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個面垂直．