Question

【題目】數(shù)列{an}是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，a2和 a5是方程x2﹣12x+27=0 的兩實數(shù)根，數(shù)列{bn}滿足3n﹣1bn=nan+1﹣（n﹣1）an ．
（Ⅰ）求an與bn；
（Ⅱ）設Tn為數(shù)列{bn}的前n項和，求Tn ， 并求Tn＜7 時n的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵數(shù)列{an}是公差d為正數(shù)的等差數(shù)列，∴a2＜a5 ， 由x2﹣12x+27=0，解得a2=3，a5=9．
∴a1+d=3，a1+4d=9，解得a1=1，d=2．
∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．
數(shù)列{bn}滿足3n﹣1bn=nan+1﹣（n﹣1）an ，
∴3n﹣1bn=n（2n+1）﹣（n﹣1）（2n﹣1），
∴bn= ；
（Ⅱ）數(shù)列{bn}的前n項和Tn= +…+ ，
= ，
兩式作差得： =3+4（ +…+ ） = = ．
∴ ；
由Tn＜7，得： ＜7，即3n﹣1＜4n+5．
解得：n≤3．
∴使Tn＜7 時n的最大值為3
【解析】（Ⅰ）求解方程得a2=3，a5=9，則a1+d=3，a1+4d=9，求出首項和公差可得他出事了的通項公式，再由數(shù)列{bn}滿足3n﹣1bn=nan+1﹣（n﹣1）an ， 可得數(shù)列{bn}的通項公式；（Ⅱ）利用錯位相減法求出數(shù)列{bn}的前n項和Tn ， 求解不等式Tn＜7 可得n的最大值．
【考點精析】本題主要考查了等比數(shù)列的前n項和公式和數(shù)列的前n項和的相關知識點，需要掌握前項和公式：；數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關系才能正確解答此題．