Question

【題目】已知M是直線l：x=﹣1上的動點，點F的坐標是（1，0），過M的直線l′與l垂直，并且l′與線段MF的垂直平分線相交于點N （Ⅰ）求點N的軌跡C的方程
（Ⅱ）設曲線C上的動點A關于x軸的對稱點為A′，點P的坐標為（2，0），直線AP與曲線C的另一個交點為B（B與A′不重合），直線P′H⊥A′B，垂足為H，是否存在一個定點Q，使得|QH|為定值？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意可知：丨NM丨=丨NF丨，即曲線C為拋物線，焦點坐標為F（1，0）， 準線方程為l：x=﹣1，
∴點N的軌跡C的方程y2=4x；

（Ⅱ）設A（ ，a），則A′（ ，﹣a），
直線AP的斜率kAP= = ，
直線AB的方程y= （x﹣2），
由 ，整理得：ay2﹣（a2﹣8）y﹣8a=0，
設B（x2 ， y2），則ay2=﹣8，則y2=﹣ ，x2= ，
則B（ ，﹣ ），
又A′（ ，﹣a），
∴A′B的方程為y+a=﹣ （x﹣ ），
令y=0，則x=﹣2，
直線A′B與x軸交于定點T（﹣2，0），
△PHT為直角三角形，并且丨OP丨=丨OT丨，
∴丨OH丨= 丨TP丨=2，
即存在點O（0，0），使得丨OH丨為定值2，則O即為點Q（0，0）．

【解析】（Ⅰ）由題意可知：丨NM丨=丨NF丨，即曲線C為拋物線，焦點坐標為F（1，0），點N的軌跡C的方程y2=4x；（Ⅱ）設A（ ，a），則A′（ ，﹣a），直線AB的方程y= （x﹣2），代入拋物線方程，求得B的坐標，A′B的方程為y+a=﹣ （x﹣ ），則令y=0，則x=﹣2，直線A′B與x軸交于定點T（﹣2，0），即可求得存在一個定點T（﹣2，0），使得T，A′，B三點共線，△PHT為直角三角形，并且丨OP丨=丨OT丨，丨OH丨= 丨TP丨=2，即存在點O（0，0），使得丨OH丨為定值2，則O即為點Q（0，0）．