Question

【題目】設函數f（x）= ，證明：
（I）當x＜0時，f（x）＜1；
（II）對任意a＞0，當0＜|x|＜ln（1+a）時，|f（x）﹣1|＜a．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵當x＜0時，f（x）＜1，等價于xf（x）＞x，即xf（x）﹣x＞0， 設g（x）=xf（x）﹣x=ex﹣1﹣x
∴g′（x）=ex﹣1＜0，在（﹣∞，0）上恒成立，
∴g（x）在（﹣∞，0）上單調遞減，
∴g（x）＞g（0）=1﹣1﹣0=0，
∴xf（x）﹣x＞0恒成立，
∴x＜0時，f（x）＜1，
（Ⅱ）要證明當0＜|x|＜ln（1+a）時，|f（x）﹣1|＜a，
即整0＜x＜ln（1+a）時，f（x）﹣1＜a，
即證 ＜a+1，
即證ex﹣1＜（a+1）x
即證ex﹣1﹣（a+1）x＜0，
令h（x）=ex﹣1﹣（a+1）x，
∴h′（x）=ex﹣（a+1）＜eln（a+1）﹣（a+1）=0，
∴h（x）單調遞減，
∴h（x）＜h（0）=0，
同理可證當x＜0時，結論成立
∴對任意a＞0，當0＜|x|＜ln（1+a）時，|f（x）﹣1|＜a
【解析】（Ⅰ）原不等式等價于xf（x）﹣x＞0，構造函數，利用導數和函數的最值得關系即可證明，（Ⅱ）當0＜x＜ln（1+a）時，f（x）﹣1＜a，等價于ex﹣1﹣（a+1）x＜0，構造函數，利用導數和函數的最值得關系即可證明，同理可證﹣ln（1+a）＜x＜0，問題得以證明
【考點精析】本題主要考查了不等式的證明的相關知識點，需要掌握不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數單調性法，數學歸納法等才能正確解答此題．