Question

【題目】已知函數f（x）=|xex|，g（x）=f2（x）+λf（x），若方程g（x）=﹣1有且僅有4個不同的實數解，則實數λ的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】（﹣∞，﹣e﹣ ）
【解析】解：f（x）= ， 當x≥0時，f′（x）=ex+xex=（1+x）ex＞0，
∴f（x）在[0，+∞）上是增函數，
當x＜0時，f′（x）=﹣ex﹣xex=（﹣1﹣x）ex ，
∴當x＜﹣1時，f′（x）＞0，當﹣1＜x＜0時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（﹣∞，﹣1]上是增函數，在（﹣1，0）上是減函數．
當x=﹣1時，f（x）取得極大值f（﹣1）= ．
令f（x）=t，
又f（x）≥0，f（0）=0，
則當t＜0時，方程f（x）=t無解；
當t=0或t＞ 時，方程f（x）=t有一解；
當t= 時，方程f（x）=t有兩解；
當0 時，方程f（x）=t有三解．
∵g（x）=f2（x）+λf（x）=﹣1有四個不同的實數解，
∴關于t的方程t2+λt+1=0在（0， ）和（ ，+∞）上各有一解，
∴ ，解得：λ＜﹣e﹣ ．
所以答案是（﹣∞，﹣e﹣ ）．