Question

【題目】已知函數f（x）= x2 ， g（x）=alnx．
（1）若曲線y=f（x）﹣g（x）在x=1處的切線的方程為6x﹣2y﹣5=0，求實數a的值；
（2）設h（x）=f（x）+g（x），若對任意兩個不等的正數x1 ， x2 ， 都有 ＞2恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）若在[1，e]上存在一點x0 ， 使得f′（x0）+ ＜g（x0）﹣g′（x0）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：y=f（x）﹣g（x）= x2﹣alnx的導數為x﹣ ，

曲線y=f（x）﹣g（x）在x=1處的切線斜率為k=1﹣a，

由切線的方程為6x﹣2y﹣5=0，可得1﹣a=3，

解得a=﹣2；

（2）解：h（x）=f（x）+g（x）= x2+alnx，

對任意兩個不等的正數x1，x2，都有 ＞2恒成立，即為

＞0，

令m（x）=h（x）﹣2x，可得m（x）在（0，+∞）遞增，

由m′（x）=h′（x）﹣2=x+ ﹣2≥0恒成立，

可得a≥x（2﹣x）的最大值，由x（2﹣x）=﹣（x﹣1）2+1可得最大值1，

則a≥1，即a的取值范圍是[1，+∞）

（3）解：不等式f′（x0）+ ＜g（x0）﹣g′（x0）等價于x0+ ＜alnx0﹣ ，

整理得x0﹣alnx0+ ＜0，設m（x）=x﹣alnx+ ，

則由題意可知只需在[1，e]上存在一點x0，使得m（x0）＜0．

對m（x）求導數，得m′（x）=1﹣ ﹣ = = ，

因為x＞0，所以x+1＞0，令x﹣1﹣a=0，得x=1+a．

①若1+a≤1，即a≤0時，令m（1）=2+a＜0，解得a＜﹣2．

②若1＜1+a≤e，即0＜a≤e﹣1時，m（x）在1+a處取得最小值，

令m（1+a）=1+a﹣aln（1+a）+1＜0，即1+a+1＜aln（1+a），

可得 ＜ln（a+1）

考察式子 ＜lnt，因為1＜t≤e，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立

③當1+a＞e，即a＞e﹣1時，m（x）在[1，e]上單調遞減，只需m（e）＜0，得a＞ ，

又因為e﹣1﹣ = ＜0，則a＞ ．

綜上所述，實數a的取值范圍是（﹣∞，﹣2）∪（ ，+∞）．

【解析】（1）求出函數y的導數，可得切線的斜率，由切線方程可得a的方程，解得a即可；（2）由題意可得即為 ＞0，令m（x）=h（x）﹣2x，可得m（x）在（0，+∞）遞增，求出導數，令導數大于等于0，分離參數a，由二次函數的最值，即可得到a的范圍；（3）原不等式等價于x0+ ＜alnx0﹣ ，整理得x0﹣alnx0+ ＜0，設m（x）=x﹣alnx+ ，求得它的導數m'（x），然后分a≤0、0＜a≤e﹣1和a＞e﹣1三種情況加以討論，分別解關于a的不等式得到a的取值，最后綜上所述可得實數a的取值范圍是（﹣∞，﹣2）∪（ ，+∞）．