Question

【題目】如圖＜1＞：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2，AD=6，CE⊥AD于E點，把△DEC沿CE折到D′EC的位置，使D′A=2 ，如圖＜2＞：若G，H分別為D′B，D′E的中點．
（1）求證：GH⊥平面AD′C；
（2）求平面D′AB與平面D′CE的夾角．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2，AD=6，CE⊥AD于E點，

把△DEC沿CE折到D′EC的位置，使D′A=2 ，

∴AE=CE=2，D′E=6﹣2=4，∴D′A2+AE2=D′E2，CD′= =2 ，

∴AD′⊥AE，∵AD′⊥AB，AD′∩AB=A，∴AD′⊥平面ABCE，∴面AD′C⊥ABCE，又因為ABCE是正方形，∴BE⊥AC，

BE⊥面ACD′，∵G，H分別為D′B，D′E的中點，∴GH∥BE，∴GH⊥平面AD′C

（2）解：如圖過點D′作直線m∥AB，∵AB∥EC，∴直線m就是面D′AB與平面D′CE的交線，

∵CE⊥AE，面AED′⊥面ABCE于AE，∴CE⊥D′E，即D′E⊥m，

∵AD′⊥AB，∴AD′⊥m，∵AD′面AD′B，D′ED′CE，∴∠AD′E就是平面D′AB與平面D′CE的夾角的平面角，

在直角三角形AD′E中，AE=2，D′E=4，可得，∴∠AD′E=30°．

平面D′AB與平面D′CE的夾角為300

【解析】（1）證明BE⊥面ACD′，GH∥BE，即可得到GH⊥平面AD′C．（2）如圖過點D′作直線m∥AB，由AB∥EC，得直線m就是面D′AB與平面D′CE的交線，可得∠AD′E就是平面D′AB與平面D′CE的夾角的平面角，
【考點精析】利用直線與平面垂直的判定對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．