Question

【題目】如圖，四棱錐 的底面 為正方形， ⊥底面 ， 分別是 的中點， .

（Ⅰ）求證 ∥平面 ；
（Ⅱ）求直線 與平面 所成的角；
（Ⅲ）求四棱錐 的外接球的體積.

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）如圖，連結 ，則 是 的中點，又 是 的中點，

∴ .又∵ 平面 ， 面

∴ 平面 .

（Ⅱ）取 的中點 ，連接 .

在正方形 中， 是 的中點，有 .

∵ 平面 ， 平面 ，∴ ，

∵ ，∴ 平面 ，

∴ 是直線 在平面 的射影，∴ 是直線 與平面 所成的角，

在直角三角形 中， ，所以 .

∴直線 與平面 所成的角為45°.

（Ⅲ）設四棱錐 的外接球半徑為 ， ，則

，即 .

所以外接球的體積為 ..

【解析】(1)根據題意作出輔助線，利用線面平行的判定定理即可得證。(2)由題意結合線面垂直的判斷定理可得證H E ⊥ 平面 P A B，進而找出二面角的平面角結合題中已知在直角三角形中求出線面角即可。(3)根據題意把四棱錐補成為一個球內接長方體，球的直徑為長方體的體對角線進而求出半徑再結合球的體積公式代入數值求出即可。
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的性質和直線與平面垂直的判定的相關知識點，需要掌握一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行;簡記為：線面平行則線線平行；一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想才能正確解答此題．