Question

【題目】在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，點P是邊AB邊上異于AB的一點，光線從點P出發，經BC，CA反射后又回到點P（如圖），若光線QR經過△ABC的重心，則AP等于（ ）

A.2
B.1
C.
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：建立如圖所示的坐標系：
可得B（4，0），C（0，4），故直線BC的方程為x+y=4，
△ABC的重心為（ ， ），設P（a，0），其中0＜a＜4，
則點P關于直線BC的對稱點P1（x，y），滿足 ，
解得 ，即P1（4，4﹣a），易得P關于y軸的對稱點P2（﹣a，0），
由光的反射原理可知P1 ， Q，R，P2四點共線，
直線QR的斜率為k= = ，故直線QR的方程為y= （x+a），
由于直線QR過△ABC的重心（ ， ），代入化簡可得3a2﹣4a=0，
解得a= ，或a=0（舍去），故P（ ，0），故AP=
故選D

建立坐標系，設點P的坐標，可得P關于直線BC的對稱點P1的坐標，和P關于y軸的對稱點P2的坐標，由P1 ， Q，R，P2四點共線可得直線的方程，由于過△ABC的重心，代入可得關于a的方程，解之可得P的坐標，進而可得AP的值．