Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C： =1（a＞b＞0）的離心率為 ，以原點為圓心，橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線x﹣y+2=0相切．

（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點P（0，1），Q（0，2）．設M，N是橢圓C上關于y軸對稱的不同兩點，直線PM與QN相交于點T，求證：點T在橢圓C上．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，以原點為圓心，橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線x﹣y+2=0相切，∴b= = ．

因為離心率e= = ，所以 = ，所以a=2 ．

所以橢圓C的方程為

（2）證明：由題意可設M，N的坐標分別為（x0，y0），（﹣x0，y0），則直線PM的方程為y= x+1，①

直線QN的方程為y= x+2． ②

設T（x，y），聯立①②解得x0= ，y0= ．

因為 ，所以 （ ）2+ （ ）2=1．

整理得 =（2y﹣3）2，所以 ﹣12y+8=4y2﹣12y+9，即 ．

所以點T坐標滿足橢圓C的方程，即點T在橢圓C上

【解析】（1）利用以原點為圓心，橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線x﹣y+2=0相切，可得b的值，利用離心率為 ，即可求得橢圓C的方程；（2）設M，N的坐標分別為（x0 ， y0），（﹣x0 ， y0），求出直線PM、QN的方程，求得x0 ， y0的值，代入橢圓方程，整理可得結論．
【考點精析】通過靈活運用橢圓的標準方程，掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：即可以解答此題．