Question

【題目】如圖所示，直三棱柱中， ， ， 為棱的中點.

（Ⅰ）探究直線與平面的位置關系，并說明理由；

（Ⅱ）若，求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（I）連接，設，則為的中點由三角形中位線定理可得四邊形為平行四邊形，由線面平行的判定定理可得平面；（II）由點到平面的距離等于點到平面的距離，再利用“等積變換”可得，進而可得三棱錐的體積.

試題解析：（Ⅰ）連接，設，因為四邊形為矩形，所以為的中點.

設為的中點，連接， ，則，且.

由已知，且，則，且，

所以四邊形為平行四邊形，

所以，即.

因為平面， 平面，所以平面.

（Ⅱ）易知平面，由（Ⅰ）可知， 平面.

所以點到平面的距離等于點到平面的距離，

所以.因為，

所以，

故三棱錐的體積為.