Question

【題目】菱形中，平面，，，

（1）證明：直線平面；

（2）求二面角的正弦值；

（3）線段上是否存在點使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）（3）存在，

【解析】

（1）建立以為原點，分別以，（為中點），的方向為軸，軸，軸正方向的空間直角坐標系，求出直線的方向向量，平面的法向量，證明向量垂直，得到線面平行；

（2）利用空間向量法求出二面角的余弦值，再由同角三角函數的基本關系求出正弦值；

（3）設，則，利用空間向量求表示出線面角的正弦值，求出的值，得解.

解：建立以為原點，分別以，（為中點），的方向為軸，軸，軸正方向的空間直角坐標系（如圖），

則，，，

，，.

（1）證明：，，

設為平面的法向量，

則，即，

可得，

又，可得，

又因為直線平面，所以直線平面；

（2），，，

設為平面的法向量，

則，即，可得，

設為平面的法向量，

則，即，可得，

所以，

所以二面角的正弦值為；

（3）設，則，

則，，

設為平面的法向量，

則，即，

可得，

由，得，

解得或（舍），所以.