Question

【題目】已知為拋物線上的一點，，為拋物線上異于點的兩點，且直線的斜率與直線的斜率互為相反數.

（1）求直線的斜率；

（2）設直線過點并交拋物線于，兩點，且，直線與軸交于點，試探究與的夾角是否為定值，若是則求出定值，若不是，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）； （2）是定值，

【解析】

（1）根據點的坐標求出拋物線方程，設出點和點的坐標，利用斜率公式和拋物線方程，求出和，再根據和互為相反數，得到，進而求出直線的斜率；

（2）設出點和點的坐標，根據，得到，再設出直線的方程，與拋物線聯立，利用韋達定理，并結合，化簡，得到的坐標表示，求出，借助向量的數量積，即可求得與的夾角.

（1）設，，

因為點為拋物線上的一點，

所以，解得，所以，

同時，有，，

，

同理，，

因為直線的斜率與直線的斜率互為相反數，

所以，即，

故.

（2）設直線的方程為，，，，

將直線的方程代入，得，

所以，，

，，且，

，解得，

，

又

，

，

又，，

，即與的夾角為.

與的夾角是定值，定值為.