Question

如圖，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=2，AC=2

2

，AA=1，D為BC的中點．
（1）求證：A₁B∥面ADC₁；
（2）求三棱錐B-AC₁D的體積．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（1）連接A₁C交AC₁于點O，連接OD，由已知條件推導出OD∥A₁B，由此能證明A₁B∥面ADC₁；
（2）利用轉換底面，即可求三棱錐B-AC₁D的體積．

解答： （1）證明：連接A₁C交AC₁于點O，連接OD，
∵O、D分別為A₁C、BC的中點，
∴OD∥A₁B且OD=

1

2

A1B，
又∵OD?面ADC₁且A₁B?面ADC₁
∴A₁B∥面ADC₁．（6分）
（2）解：∵AB=BC=2，AC=2

2

，∴∠ABC=90°．
又∵D為BC的中點，∴BD=1，
∴S_△ABD=

1

2

AB•BD=1．
∵AA₁=1，∴CC₁=1，
∴VB-AC1D=VC1-ABD=

1

3

S△ABD•C1C=

1

3

．（12分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查錐體體積的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．