Question

設(shè)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的兩個焦點為F₁，F(xiàn)₂，P（異于長軸端點）為橢圓上任意一點，在△PF₁F₂中，記∠F₁PF₂=α，∠PF₁F₂=β，∠F₁F₂P=γ，求

sinα

sinβ+sinγ

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)∠PF₁F₂和∠PF₁F₂求得∠F₁PF₂，進而根據(jù)正弦定理分別求得|PF₁|和|PF₂|，代入|PF₁|+|PF₂|=2a中求得a和c的關(guān)系，即可得出結(jié)論．

解答： 解：設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，
∵∠PF₁F₂=β，∠PF₁F₂=γ，
∴∠F₁PF₂=180°-γ-β
∴sinα=sin（γ+β）
由正弦定理可得

m

sinβ

=

2c

sinα

，

n

sinγ

=

2c

sinα

∴m=

2csinβ

sinα

，n=

2csinγ

sinα

根據(jù)橢圓的定義可知m+n=2a，∴

2c(sinβ+sinγ)

sinα

=2a，
∴

sinα

sinβ+sinγ

=

c

a

．

點評：本題主要考查了橢圓的應用及解三角形問題．解題的關(guān)鍵是充分利用橢圓的定義，找到三角形三邊的關(guān)系，進而通過正弦定理轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的化簡．