【題目】如圖，在四面體
中，E是線段
的中點，
，
，
.
（1）證明：
；
（2）求平面
與平面
所成銳二面角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
.
【解析】
（1）取線段
的中點
，連接
，
．證明
．推出
平面
，然后證明
．
（2）解法一：令
，點為原點，射線
、
、
分別為
軸、
軸、
軸正方向，建立空間直角坐標系，如圖所示．求出平面
、平面
的法向量，利用空間向量的數量積求解平面與平面所成銳二面角的余弦值．
解法二：令，取
中點
，則
，
，說明
為二面角
的平面角，利用余弦定理轉化求解，平面與平面所成銳二面角的余弦值即可．
（1）取線段的中點F，連接、.
因為E是線段
的中點，所以
.又
，所以
.
因為
，F是的中點，所以.
因為
平面，
平面，
，
所以平面，而
平面，
所以.
（2）解法一：
令，則
，
那么
，
，
所以
，所以
.
又，，故可以以點F為原點，射線、、分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標系，如圖所示.
則
，
，
，
，
所以
，
，
.
設平面、平面的法向量分別為
，
，
由
，得
，取
，則
.
由
，得
，取
，則
.
所以
.
故平面與平面所成銳二面角的余弦值為.
解法二：
令，由已知及（1）可得：
，
所以
，
均為棱長為a的正三角形.
取中點G，則，，故為二面角的平面角，
在
中，
，
，
由余弦定理可得：
，
故平面與平面所成銳二面角的余弦值為.
暑假作業海燕出版社系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設
、
為拋物線
上的兩點，與的中點的縱坐標為4，直線
的斜率為
.
（1）求拋物線
的方程；
（2）已知點
，
、
為拋物線（除原點外）上的不同兩點，直線
、
的斜率分別為
，
，且滿足
，記拋物線在、處的切線交于點
，若點、的中點的縱坐標為8，求點
的坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】天氣預報說，在今后的三天中，每一天下雨的概率均為40%，現部門通過設計模擬實驗的方法研究三天中恰有兩天下雨的概率：先利用計算器產生0到9之間取整數值的隨機數，用1，2，3，4表示下雨，其余6個數字表示不下雨：產生了20組隨機數：
907 | 966 | 191 | 925 | 271 | 932 | 812 | 458 | 569 | 683 |
431 | 257 | 393 | 027 | 556 | 488 | 730 | 113 | 537 | 989 |
則這三天中恰有兩天降雨的概率約為__________．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】港珠澳大橋是中國建設史上里程最長，投資最多，難度最大的跨海橋梁項目，大橋建設需要許多橋梁構件。從某企業生產的橋梁構件中抽取
件，測量這些橋梁構件的質量指標值，由測量結果得到如圖所示的頻率分布直方圖，質量指標值落在區間
，
，
內的頻率之比為
.
（1）求這些橋梁構件質量指標值落在區間內的頻率；
（2）用分層抽樣的方法在區間
內抽取一個容量為
的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任意抽取
件橋梁構件，求這件橋梁構件都在區間
內的概率
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】桂林漓江主要景點有象鼻山、伏波山、疊彩山、蘆笛巖、七星巖、九馬畫山，小張一家人隨機從這6個景點中選取2個進行游玩，則小張一家人不去七星巖和疊彩山的概率為（ ）.
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】證明：存在無數個滿足如下條件的整數組(a,b,c,d)：
（1）a>c>0，(a,c)=1；
（2）對任意給定的正整數k，恰有k個正整數n，使得(an+b)|(cn+d)。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】作一個平面截正方體
得到一個多邊形(包括三角形)截面，那么截面形狀可能是__________.(填上所有你認為正確的選項的序號)
①正三角形；②正方形；③菱形；④非正方形的矩形；⑤正五邊形；⑥正六邊形
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