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【題目】證明：存在無數個滿足如下條件的整數組(a,b,c,d)：

（1）a>c>0，(a,c)=1；

（2）對任意給定的正整數k，恰有k個正整數n，使得(an+b)|(cn+d)。

【答案】見解析

【解析】

當k=1時，，顯然，a>c>0，(a,c)=1.

當n≥2時，an+b>(a-1)n+b+1>0.

而當n=1時，(an+b)|[(a-1)n+b+1].

故這樣的整數組(a,b,c,d)有無數個.

當k≥2時，令a=2，b=1，c=1，，其中，p為任一奇素數，滿足條件(1).

若，設

則.

易知，.

因為n為正整數，所以，.

故恰有k個解恰有k個解.

滿足條件(2).

又這樣的奇素數p有無限個，則(a,b,c,d)有無數組.

綜上，原問題得證.

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【題目】大型綜藝節目《最強大腦》中，有一個游戲叫做盲擰魔方，就是玩家先觀察魔方狀態并進行記憶，記住后蒙住眼睛快速還原魔方，盲擰在外人看來很神奇，其實原理是十分簡單的，要學會盲擰也是很容易的.為了解某市盲擰魔方愛好者的水平狀況，某興趣小組在全市范圍內隨機抽取了名魔方愛好者進行調查，得到的情況如表所示：

用時（秒）
男性人數	15	22	14	9
女性人數	5	11	17	7

附：，.

	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

（1）將用時低于秒的稱為“熟練盲擰者”，不低于秒的稱為“非熟練盲擰者”.請根據調查數據完成以下列聯表，并判斷是否有的把握認為是否為“熟練盲擰者”與性別有關？

	熟練盲擰者	非熟練盲擰者
男性
女性

（2）以這名盲擰魔方愛好者的用時不超過秒的頻率，代替全市所有盲擰魔方愛好者的用時不超過秒的概率，每位盲擰魔方愛好者用時是否超過秒相互獨立.那么在該興趣小組在全市范圍內再次隨機抽取名愛好者進行測試，其中用時不超過秒的人數最有可能（即概率最大）是多少？

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【題目】橢圓，是橢圓的左右頂點，點P是橢圓上的任意一點.

（1）證明：直線，與直線，斜率之積為定值.

（2）設經過且斜率不為0的直線交橢圓于兩點，直線與直線交于點，求證：為定值.

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【題目】如圖，在四面體中，E是線段的中點，，，.

（1）證明：；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

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【題目】某公司準備上市一款新型轎車零配件，上市之前擬在其一個下屬4S店進行連續30天的試銷.定價為1000元/件.試銷結束后統計得到該4S店這30天內的日銷售量（單位：件）的數據如下表：

日銷售量	40	60	80	100
頻數	9	12	6	3

（1）若該4S店試銷期間每個零件的進價為650元/件，求試銷連續30天中該零件日銷售總利潤不低于24500元的頻率；

（2）試銷結束后，這款零件正式上市，每個定價仍為1000元，但生產公司對該款零件不零售，只提供零件的整箱批發，大箱每箱有60件，批發價為550元/件；小箱每箱有45件，批發價為600元/件.該4S店決定每天批發兩箱，根據公司規定，當天沒銷售出的零件按批發價的9折轉給該公司的另一下屬4S店.假設該4店試銷后的連續30天的日銷售量（單位：件）的數據如下表：

日銷售量	50	70	90	110
頻數	5	15	8	2

（ⅰ）設該4S店試銷結束后連續30天每天批發兩大箱，這30天這款零件的總利潤；

（ⅱ）以總利潤作為決策依據，該4S店試銷結束后連續30天每天應該批發兩大箱還是兩小箱？

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【題目】黑板上寫有1，2，…，2014這2014個正整數.現進行如下操作：第一步劃去最前面的兩個數l、2，并在2014后面寫上這兩數的和3；第二步劃去最前面的三個數3、4、5，并在最后面寫上這三數的和12；如此繼續下去.當第￡步時，黑板上的數不夠個，停止操作.求在黑板上出現過的不同數的個數及這些不同數的和（若一個數多次出現，只計算一次）.

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【題目】2020年寒假是特殊的寒假，因為抗擊疫情全體學生只能在家進行網上在線學習，為了研究學生在網上學習的情況，某學校在網上隨機抽取120名學生對線上教育進行調查，其中男生與女生的人數之比為11∶13，其中男生30人對于線上教育滿意，女生中有15名表示對線上教育不滿意.

（1）完成列聯表，并回答能否有99%的把握認為對“線上教育是否滿意與性別有關”；

	滿意	不滿意	總計
男生	30
女生		15
合計			120

（2）從被調查的對線上教育滿意的學生中，利用分層抽樣抽取8名學生，再在8名學生中抽取3名學生，作線上學習的經驗介紹，其中抽取男生的個數為，求出的分布列及期望值.

參考公式：附：

	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
	2.072	0.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10828

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【題目】隨著食品安全問題逐漸引起人們的重視，有機、健康的高端綠色蔬菜越來越受到消費者的歡迎，同時生產—運輸—銷售一體化的直銷供應模式,不僅減少了成本，而且減去了蔬菜的二次污染等問題.

（1）在有機蔬菜的種植過程中，有機肥料使用是必不可少的.根據統計某種有機蔬菜的產量與有機肥料的用量有關系，每個有機蔬菜大棚產量的增加量（百斤）與使用堆漚肥料（千克）之間對應數據如下表

使用堆漚肥料（千克）	2	4	5	6	8
產量的增加量（百斤）	3	4	4	4	5

依據表中的數據，用最小二乘法求出關于的線性回歸方程；并根據所求線性回歸方程，估計如果每個有機蔬菜大棚使用堆漚肥料10千克，則每個有機蔬菜大棚產量增加量是多少百斤?

（2）某大棚蔬菜種植基地將采摘的有機蔬菜以每份三斤稱重并保鮮分裝,以每份10元的價格銷售到生鮮超市.“樂購”生鮮超市以每份15元的價格賣給顧客，如果當天前8小時賣不完，則超市通過促銷以每份5元的價格賣給顧客（根據經驗，當天能夠把剩余的有機蔬菜都低價處理完畢，且處理完畢后，當天不再進貨）.該生鮮超市統計了100天有機蔬菜在每天的前8小時內的銷售量（單位:份），制成如下表格(注:，且)；