Question

若直線y=kx-2與拋物線y²=8x交于A，B兩點，若線段AB的中點的橫坐標是3，則|AB|=

6

．

Answer 1

分析：由

y=kx-2 y2=8x

，得k²x²-（4k+8）x+4=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則：x₁+x₂=

1

k2

（4k+8），x₁x₂=

4

k2

，故|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

8 k+1

k2

，由線段AB的中點的橫坐標是3，知

1

2

|x₁-x₂|=

4 k+1

k2

=3，由此能求出|AB|．

解答：解：解方程組：

y=kx-2 y2=8x

，
∴（kx-2）²=8x，整理為：k²x²-（4k+8）x+4=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則：x₁+x₂=

1

k2

（4k+8），x₁x₂=

4

k2

，
則：|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(4k+8)2 k4 -4× 4 k2

=

8 k+1

k2

，
∵線段AB的中點的橫坐標是3，則

1

2

|x₁-x₂|=

4 k+1

k2

=3，
所以|AB|=|x₁-x₂|=2×3=6．
故答案為6．

點評：本題考查直線與拋物線的位置關系的應用，具體涉及到拋物線的性質、韋達定理，弦長公式等基本知識點．解題時要認真審題，仔細解答．