Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），點(diǎn)A、B坐標(biāo)為A（a，0），B（0，b），若△ABC面積為

3

2

，∠BF₂A=120°．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線y=kx+2與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N，且以MN為直徑的圓恰好過原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值；
（3）動(dòng)點(diǎn)P使得

F1P

•

F1F2

、

PF1

•

PF2

、

F2F

1•

F2P

成公差小于零的等差數(shù)列，記θ為向量

PF1

與

PF2

的夾角，求θ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）在RT△BOF₂中，∠BF₂O=60°，計(jì)算得：b=

3

c，a=2c，由S△ABF2=

1

2

((a-c)b=

3

2

，可計(jì)算得a=2，b=

3

，c=1，從而可求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+2．與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)判別式大于0求得k的范圍，設(shè)M，N兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁+x₂和x₁x₂，進(jìn)而根據(jù)若以MN為直徑的圓恰好過原點(diǎn)，x₁•x₂+y₁•y₂=0，代入即可求得k，最后檢驗(yàn)看是否符合題意．
（3）設(shè)P的坐標(biāo)，由

F1P

•

F1F2

、

PF1

•

PF2

、

F2F

1•

F2P

成公差小于零的等差數(shù)列得：x²+y²=33≥x²＞0
從而

1

2

＜cosθ≤1，所以可求θ的取值范圍．．

解答：解：（1）在RT△BOF₂中，∠BF₂O=60°，計(jì)算得：b=

3

c，a=2c
由S△ABF2=

1

2

((a-c)b=

3

2

，計(jì)算得a=2，b=

3

，c=1，所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）設(shè)交點(diǎn)M、N坐標(biāo)為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
將直線y=kx+2代入橢圓

x2

4

+

y2

3

=1整理得方程，3+4k²）x²+16kx+4=0；

x1+x2=- 16k 3+4k2 x1•x2= 4 3+4k2

由△＞0得k＜-

1

2

或k＞

1

2

由MN為直徑的圓過原點(diǎn)得x₁•x₂+y₁•y₂=0，所以x₁•x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=0，計(jì)算并檢驗(yàn)得k=±

2 3

3

即為所求．
（3）設(shè)P（x，y），由

F1P

•

F1F2

、

PF1

•

PF2

、

F2F

1•

F2P

成公差小于零的等差數(shù)列得：x²+y²=33≥x²＞0cosα=

PF1 • PF2

|PF1| ×| PF2 |

=

1

4-x2

所以

1

2

＜cosθ≤1，所以

π

3

＞θ≥0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力．