Question

【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），直線經過點且傾斜角為，，以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.

（1）求曲線的極坐標方程；

（2）過原點作直線的垂線，垂足為，交曲線于另一點，當變化時，求的面積的最大值及相應的的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，面積取最大值.

【解析】

（1）將曲線的參數方程化為普通方程，然后由可將曲線的普通方程化為極坐標方程；

（2）由題意可得出直線的極坐標方程為，將直線的極坐標方程與曲線的極坐標方程聯立，求得，并求出、，可得出關于的表達式，并利用三角恒等變換思想化簡，結合正弦函數的基本性質可求得面積的最大值及其對應的的值.

（1）曲線的參數方程為（為參數），轉換為直角坐標方程為，即，

根據轉換為極坐標方程為；

（2）由題意知直線的極坐標方程為，

聯立直線與曲線的極坐標方程得，所以.

故，，所以.

所以，

，，

當時，即時，面積取最大值.