Question

【題目】已知直線l：3x+4y+m=0，圓C：x2+y2－4x+2=0，則圓C的半徑r=_____；若在圓C上存在兩點A，B，在直線l上存在一點P，使得∠APB=90°，則實數m的取值范圍是____．

Answer 1

【答案】

【解析】

按照直線與圓有無交點分兩類討論，有交點時，顯然成立，無交點時，轉化為過作圓的兩條切線的夾角大于等于90°，進一步轉化為的最小值小于等于2，轉化為圓心到直線的距離小于等于2，據此可得答案.

由圓，得，所以圓的半徑.

①當直線l：3x+4y+m=0與圓C：x2+y2－4x+2=0有交點時，顯然滿足題意，

此時，解得，

②當直線l：3x+4y+m=0與圓C：x2+y2－4x+2=0無交點時，或，

“在圓C上存在兩點A，B，在直線l上存在一點P，使得∠APB=90°”等價于“直線上存在點，過作圓的兩條切線的夾角大于等于90°”，

設兩個切點為、，則，所以，

所以，所以，

根據題意可得直線上存在點，使得，等價于，

又的最小值為圓心到直線的距離，

所以，解得.又或，

所以或，

由①②可得實數m的取值范圍是.

故答案為：；.