Question

【題目】已知等比數列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，且4Sn，3Sn+1，2Sn+2成等差數列.

（1）求{an}的通項公式；

（2）若數列{bn}滿足b1＝0，bn+1﹣bn＝1，設cn，求數列{cn}的前2n項和.

Answer 1

【答案】（1）an＝2n﹣1，n∈N*（2）n2

【解析】

（1）運用等差數列的中項性質可得3Sn+1＝2Sn+Sn+2，即2an+1＝an+2，根據等比數列的定義，通項公式可求；

（2）由等差數列的定義和通項公式，可得bn，求得cn，運用數列的分組求和，以及等差數列和等比數列的求和公式，可得所求和.

解：（1）由4Sn，3Sn+1，2Sn+2成等差數列，

可得6Sn+1＝4Sn+2Sn+2，即3Sn+1＝2Sn+Sn+2，

即2（Sn+1﹣Sn）＝Sn+2﹣Sn+1，

即2an+1＝an+2，又{an}為等比數列，所以等比數列{an}的公比為2，

又a1＝1，可得an＝2n﹣1，n∈N*；

（2）由b1＝0，bn+1﹣bn＝1，可得{bn}是首項為0，公差為1的等差數列，

則bn＝n﹣1，n∈N*，

cn，

所以{cn}的前2n項和為c1+c2+…+c2n＝（a1+a3+…+a2n﹣1）+（b2+b4+…+b2n）

＝（1+4+16+…+22n﹣2）+（1+3+…+2n﹣1）

nn2.