Question

【題目】如圖（甲），是邊長為的等邊三角形，點分別為的中點，將沿折成四棱錐，使，如圖（乙）．

（1）求證：平面；

（2）求與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

（1）根據線面垂直的判定定理，直接證明，即可得出結論成立；

（2）由題意，以點為坐標原點，所在直線分別為軸建立坐標系，求出平面的一個法向量，以及直線的方向向量，由向量夾角公式，即可求出結果.

（1）證明：在中，，，，

所以，

則有，即．

又因為，，平面，

所以平面．

（2）由（1）知，以點為坐標原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的坐標系．

則，，，，易知P在底面的射影為AC與BD的交點，所以

．

，，．

設平面的法向量為，直線和平面所成角為，

則即

令，得．

，

所以直線和平面所成角的正弦值為．