Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點，，離心率，短軸長為2.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）如圖，點為橢圓上一動點（非長軸端點），的延長線于橢圓交于點，的延長線于橢圓交于點，求面積的最大值

Answer 1

【答案】（1）; （2）.

【解析】【試題分析】（１）依據題設建立方程組進行求解；（２）依據題設條件運用直線與橢圓的位置關系建立三角形面積的目標函數，運用不等式求得其最值從而使得問題獲解。

（1）橢圓中，

過其中兩個端點的直線斜率為，∴①，

過兩個焦點和一個頂點的三角形面積為1，∴②；

又③，

用①②③解得，；

∴橢圓的方程為.

（2）當直線的斜率不存在時，

可知，，，

故，

當直線的斜率存在時，設直線的方程為，

聯立方程化簡得，

，

∴，，

故，

，

故

，

點到直線的距離，

故

；

綜上，的面積的最大值為.