Question

【題目】【2016高考山東文數】已知橢圓C:（a>b>0）的長軸長為4，焦距為2.

（I）求橢圓C的方程；

(Ⅱ)過動點M(0，m)(m>0)的直線交x軸與點N，交C于點A，P(P在第一象限)，且M是線段PN的中點.過點P作x軸的垂線交C于另一點Q，延長線QM交C于點B.

(i)設直線PM、QM的斜率分別為k、k'，證明為定值.

(ii)求直線AB的斜率的最小值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) .(Ⅱ)(i)見解析；(ii)直線AB 的斜率的最小值為 .

【解析】

試題分析：(Ⅰ)分別計算即得.

(Ⅱ)(i)設，

利用對稱點可得

得到直線PM的斜率，直線QM的斜率，即可證得.

(ii)設，分別將直線PA的方程，直線QB的方程與橢圓方程

聯立，

應用一元二次方程根與系數的關系得到、及用表示的式子，進一步應用基本不等式即得.

試題解析：(Ⅰ)設橢圓的半焦距為c，

由題意知，

所以，

所以橢圓C的方程為.

(Ⅱ)(i)設，

由，可得

所以 直線PM的斜率 ，

直線QM的斜率.

此時，所以為定值.

(ii)設，

直線PA的方程為，

直線QB的方程為.

聯立 ，

整理得.

由可得 ，

所以，

同理.

所以，

，

所以

由，可知，

所以 ，等號當且僅當時取得.

此時，即，符號題意.

所以直線AB 的斜率的最小值為 .