Question

【題目】已知函數，，其中是自然對數的底數.

（Ⅰ）判斷函數在內零點的個數，并說明理由；

（Ⅱ），，使得不等式成立，試求實數的取值范圍；

（Ⅲ）若，求證：.

Answer 1

【答案】（1）1（2）（3）見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）首先求函數的導數 ，判斷導數的正負，得到函數的單調性，再根據零點存在性定理得到零點的個數；（Ⅱ）不等式等價于，根據導數分別求兩個函數的最小值和最大值，建立不等式求的取值范圍；（Ⅲ）利用分析法逐步找到使命題成立的充分條件，即，證明，求的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）函數在上的零點的個數為1，，

理由如下：因為，所以.

因為，所以.

所以函數在上是單調遞增函數.

因為，，

根據函數零點存在性定理得

函數在上的零點的個數為1.

（Ⅱ）因為不等式等價于，

所以，，使得不等式成立，等價于，

當時，，故在區間上單調遞增，所以時，取得最小值-1，

又，由于，，，

所以，故在區間上單調遞增.

因此，時，取得最大值.

所以，所以，

所以實數的取值范圍是.

（Ⅲ）當時，要證，只要證，

只要證，

只要證，

由于，只要證.

下面證明時，不等式成立.

令，則，

當時，，是單調遞減；

當時，，是單調遞增.

所以當且僅當時，取得極小值也就是最小值為1.

令，其可看作點與點連線的斜率，

所以直線的方程為：，

由于點在圓上，所以直線與圓相交或相切，

當直線與圓相切且切點在第二象限時，

當直線取得斜率的最大值為1.

故時，；時，.

綜上所述，當時，成立.