Question

【題目】已知直線： ，圓：

（1）求證：直線與圓總相交；

（2）求出相交的弦長(zhǎng)的最小值及相應(yīng)的值；

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析 (2) 相交的弦長(zhǎng)的最小值為，相應(yīng)的.

【解析】試題分析：

(1)由題意可得直線恒過(guò)定點(diǎn)，圓的圓心，半徑，而,故點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則直線與圓總相交.

(2)由直線與圓的位置關(guān)系可知，滿足題意時(shí)，弦心距最大，此時(shí)，由斜率公式可得，則，解得： ，此時(shí)直線被圓截得的弦長(zhǎng)為最小值為.

試題解析：

(1) 直線：

化簡(jiǎn)得：

由，解得

直線過(guò)定點(diǎn)

圓： ，

即圓心，半徑，

點(diǎn)在圓的內(nèi)部，故直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)

直線與圓總相交.

（2）直線被圓截得的弦長(zhǎng)為最小時(shí)，弦心距最大，此時(shí)，

， ， ，

，解得： ，

又，

直線被圓截得的弦長(zhǎng)為最小值為，

故相交的弦長(zhǎng)的最小值為，相應(yīng)的.