Question

【題目】已知函數， ．

（1）設 ，若是偶函數，求實數的值；

（2）設，求函數在區間上的值域；

（3）若不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)

【解析】試題分析:（1）根據偶函數定義得，再根據對數運算性質解得實數的值；（2）根據對數運算法則得，再求分式函數值域，即得在區間上的值域（3）設，將不等式化為，再分離變量得 且，最后根據基本不等式可得最值，即得實數的取值范圍.

試題解析：（1）因為是偶函數，

所以，

則恒成立， 所以.

（2）

，

因為，所以，所以，

則，則，

所以，即函數的值域為.

（3）由，得，

設，則，設

若則，由不等式對恒成立，

①當，即時，此時恒成立；

②當，即時，由解得；

所以；

若則，則由不等式對恒成立，

因為，所以 ，只需，解得；

故實數的取值范圍是.